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確率論の誘惑 モンティホール問題のカメノセタロウ的説明。

SPIの確率の問題を解くのに四苦八苦しながら「こう改変すればもっとええ問題になるのに」とか考えてるうちに時間切れになるカメノセタロウですこんばんは。

私は根っからの文系人間で、数学にΘとか訳わからんアヒルの目みたいなギリシャ文字が出てきた頃におさらばを告げた人間なのですが、それでも時々数学の奥深さに感心することがあります。そんな、文系人間の私を感心させた数学の問題の一つが、かの有名なモンティホール問題です。

ただこの問題、他の人に説明するのが難しく、説明をしても納得してもらえないことが多々あります。そんなわけで、どんな説明が理解しやすいか、数種類の説明を試してみましょう。

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モンティホール問題とは

モンティホール問題をご存じない幸運な方のために、大前提の説明をば。

  1. 3つのドア (A, B, C) があり、モンティさんがそのいずれかのドアの中に商品を入れる。
  2. プレイヤーはドアを1つ選ぶ。(まだ中は開けない)
  3. モンティはプレイヤーが選ばなかった残りのドアのうち、外れのドア1つを必ず開ける。
  4. モンティはプレイヤーにドアを選びなおして良いと必ず言う。

この時、プレイヤーはドアを選びなおした方が良いかどうか。選びなおすことによって、外れる確率が低くなるかどうか。

 

そんな問題でございます。

賞品が入っているドアを選ぶためには、選びなおした方が良いのかどうなのか。

はじめてこの問題に接した時の私の回答は「選びなおそうがそのままだろうが、確率は変わらないだろ常識的に考えて」で、ございました。そのように感じる方が多いからこそ話題になった問題でもありますが、皆さまはどうお感じでしょうか。

カメノセタロウの間違えた解釈

当初の私は、この問題を以下のように解きました。

  1. 3つのドア (A, B, C) があり、ドアの中に賞品が入っているものが1つ、外れが2つ。 3分の1の確率で商品だな!
  2. カメノセタロウはドアを1つ選ぶ。(まだ中は開けない)選んだものが商品の確率は3分の1だな!
  3. モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける。なにしとんねんモンティとか言う人
  4. モンティの開けるドアは、必ず外れのドアである。ってことは残りのドアは2つで、外れが1つ、商品が1つなので、2分の1の確率で商品だな!
  5. モンティはプレイヤーにドアを選びなおして良いと必ず言う。選びなおそうがどうしようが確率は変わらんな!

はい、モンティホール問題に引っかかる人の多くがこのように解いたと思います。書いてる途中で自分でも「あれ、これなんで間違いなんだ?」と思ったくらいだし。違う解き方で引っかかった方いらっしゃいましたら、コメントでぜひ教えてくださいまし。

 

ちなみに正解は 

賞品のドアを選ぶためには、「選びなおす」が正解です。「選びなおしても選びなおさなくても確率は変わらない」は間違いです。選びなおすとどれくらい賞品のドアの確率が高まるかと言うと、選びなおさない時の倍の確率になります。今ならもう一つお付けします、的なお得感すごいねコレ。

では、以下、カメノセタロウ的解説。今まで他人に説明しての戦績、3勝8敗程度。

 

解答1.お前は3分の1しか選ばないのか?

最初、A,B,Cのドアのうち、貴方はどれか1つを選びます。この時点で、貴方が商品のドアを選択している確率は3分の1。そして、貴方が選んでない2つの方に商品のドアが含まれている確率は3分の2。モンティは貴方が選ばなかった2つのドアの中から外れを選んで開きます。貴方が選ばなかったドアは1つに減りましたが、外れのドアが減っただけなので、確率は変わらず3分の2。貴方の選んでいるドアが商品の確率も変わらずに3分の1のまま。つまり、ドアを選びなおす方が良い。

 

これで、理解してもらえます・・・かね・・・。

 

解答2.3分の2を選んでるのと同じなんだよ

まずあなたは、A,B,Cのドアの中から1つ選びます。モンティがこう言いました。

「今選んでいるドアを辞めるなら、選んでいないドア2つとも貴方の物にできるよ!」

この時、選びなおす方が得かどうか。という問題と同じです。

貴方の物になった2つのドア、それを開ける時にモンティが外れのドアをまず最初にあける、と言うだけで、貴方が2つのドアを選べていることに変わりありません。

「いや、そんな甘い話し無いだろ、モンティは正解を知っているから、こうやって意地悪してるんだろ」と考えてしまいそうになりますが、これは確立上の問題なのでそんな疑心暗鬼にならなくてよいです!

 

これで・・・・りかいできるっすか・・・?

 

解答3.図を使って説明してみる

賞品の入っているドアを◎

外れのドアを×

と表記します。

1.貴方が選んだドア◎ 選ばなかったドア××

2.貴方が選んだドア× 選ばなかったドア◎×

3.貴方が選んだドア× 選ばなかったドア×◎

この3パターンがあります。モンティは貴方が選ばなかったドアから外れのドアを開いて除外するので、こうなります。

1.貴方が選んだドア◎ 選ばなかったドア×

2.貴方が選んだドア× 選ばなかったドア◎

3.貴方が選んだドア× 選ばなかったドア◎

この時、ドアを選びなおすと◎になる確率は3分の2.ドアを選びなおさない時に◎になる確率は3分の1。よって、選びなおすと確率が高まる!!

 

おっけー?理解できましたかね、私の情報伝達能力で。まあ、最後の図を使って説明をしてみるってのはもっと細かな場合分けが必要ですが、結果は同じなので省略。

 

解答4.それなら貴方がモンティさん

逆の立場になってみましょう。貴方はモンティさんです。

貴方がドアAに賞品を入れた場合。

パターン1(プレイヤーがドアAを選び、選択肢を変えると外れる)
プレイヤーがドアAを選ぶと、貴方は外れのBかCのドアを開いてこう言います
「選んだAから、残りの違うドアに変えていいんやで?
ドアAから変える→外れのドアになる。

パターン2(プレイヤーがドアBを選び、選択肢を変えると当たる)
プレイヤーがドアBを選ぶと、貴方は外れのCのドアを開いてこう言います
「選んだBから、残りのドアAに変えていいんやで?」
ドアBからAに変える→当たり!

パターン3(プレイヤーがドアCを選び、選択肢を変えると当たる)
プレイヤーがドアCを選ぶと、貴方は外れのBのドアを開いてこう言います
「選んだCから、残りのドアAに変えていいんやで?」
ドアCからAに変える→当たり!

選択肢を変えた場合、2回当たり、1回外れました。ゆえに、確率的には選択肢を変えるのが正解!

貴方がドアB、ドアCに賞品を入れた場合でも、当然同じになります。

 

それじゃあ、選ばなかったドアは俺のものな

それでも分からんぞい。とおっしゃる方は、こうしても良いでしょうか。

3つのドアの中からお好きなドアを1つ選んでください、残り2つのドアはワタクシ、カメノセタロウの物でいいですね?貴方は1つ、私は2つのドアですが、問題ないはずです、私ずるくなんてないです。ほらほら、モンティさんが私の2つのドアの中から、外れを1つ開いて見せてくれました。これで、貴方も私もドア1つ。問題ないですね、同じ確率ですね!

それでも問題ない?そんなお方は・・・。

ドアが100個あって、その中の1つが当たり、99個が外れ。さあ、お1つ選んでくださいな、残り99個はわたくしカメノセタロウの物!私の99個のドアのうち、モンティさんが外れのドアを98個開いて見せてくれました。これで私もあなたもドア1つ、どちらに賞品が入ってるか、その確率はいずれのドアも2分の1!それでイイですね?

では、理解していた人できた人に質問

  1. 3つのドア (A, B, C) があり、ドアの中に賞品が入っているものが1つ、外れが2つ。
  2. プレイヤーはドアを1つ選ぶ。(まだ中は開けない)
  3. モンティは残りのドアのうち1つランダムに開ける。
  4. モンティが開いたドアが外れのドアだった場合、プレイヤーはドアを選びなおしても良い。

この場合、選びなおす方が得かどうか。

 

もう1つ問題。

凶悪犯のみつまりカメノセタロウ高木よーへいに死刑判決が出ました。ところが、この3人の中で1人だけ死刑を免れることになりました。そこで、カメノセタロウは看守に聞きました。

カ「ねえねえ、誰が死刑を免れるの?」

看「そんなん教えてやらへんもんねー、お尻ぺーんぺん!」

カ「ワシ以外の2人のうち、少なくともどっちかは必ず死刑になるやん?だから、1人だけでも死刑になる人の名前教えてくれよん!」

看「しゃーないなぁ、1人だけやったら教えたるわ。ま、少なくともみつまりは死刑になるで」

カ「やったぜ!俺が死刑になる確率が3分の2から、2分の1に減ったぜ!!これが頭脳プレー!」

果たしてこのカメノセタロウの考えは確率論的に正しいか否か。

 

それでは良い夜を、カメノセタロウでした。